1. BAØI TAÄP HÌNH HOÏC CHÖÔNG VECTÔ DAØNH CHO HOÏC SINH TRUNG BÌNH
Baøi 1: Cho 6 ñieåm A, B, C, D, E, F tuøy yù. Chöùng minh
a/ AB + DC + BD + CA = 0 b/ AB + CD + BC + DA = 0
c/ AD + BE + CF = AE + BF + CD d/ AD + BE + CF = AF + BD + CE
e/ AB − CD = AC + DB f/ AB + CD = AD + CB
Baøi 2: Cho hình bình haønh ABCD O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo vaø M laø ñieåm tuøy yù. Chöùng minh
a/ OA + OB + OC + OD = 0 b/ MA + MC = MB + MD
Baøi 3: Cho töù giaùc ABCD, goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BD. Chöùng minh
AB + CD = 2 IJ
Baøi 4: Cho hình vuoâng coù caïnh laø a tính
a/ AB + AD b/ AB + AC
ÑS: AB + AD = a 2 ; AB + AC = a 5
Baøi 5: Cho tam giaùc ABC xaùc ñònh
a/ Ñieåm I thoûa IA + IB + IC = 0 b/ Ñieåm M thoûa MA − MB + MC = 0
ÑS: a/ I laø troïng taâm ∆ ABC b/ ñöa ñeán BA = CM => M laø ñænh thöù tö cuûa hình bình haønh ABCM
Baøi 6: Cho töù giaùc ABCD, goïi I, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC vaø CD. Chöùng minh
2( AB + AI + FA + DA) = 3BD
Baøi 7: Cho tam giaùc ABC. Goïi I laø moät ñieåm treân ñoaïn BC sao cho 3IB = 4IC. Chöùng minh
3 4
AI = AB + AC
7 7
Baøi 8: Cho tam giaùc ABC . Goïi M trung ñieåm BC vaø N laø moät ñieåm treân caïnh AC sao cho
NC = 2NA. Goïi K laø trung ñieåm cuûa MN.
1 1 1 1
a/ Chöùng minh AB + AC b/ Goïi D laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh KD = AB + AC
4 6 4 3
Baøi 9: Cho hình bình haønh ABCD. Xaùc ñònh M sao cho 4AM = AB + AC + AD
ÑS: M laø trung ñieåm AC.
Baøi 10: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O), H laø tröïc taâm tam giaùc ABC, AD laø ñöôøng kính
ñöôøng troøn (O) Chöùng minh
a/ HBDC laø hình bình haønh b/ HA + HB + HC = 2 HO c/ OA + OB + OC = OH
d/ Goïi G laø troïng taâm ∆ ABC. Chöùng minh O, H, G thaúng haøng.

2. Baøi 11: Cho töù giaùc ABCD, goïi I, Klaàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, J laø trung ñieåm cuûa IK.
Chöùng minh JA + JC + JB + JD = 0
Baøi 12: Cho a = 3i + j; b = −4 j + 2i; c = 4 j . Tìm toïa ñoä caùc vectô sau
a/ u = 4a + 3b − 2c b/ u = a − 2b − 3c
Baøi 13: Cho A(–1;2); B(2;4); C(4; 5).
a/ Xaùc ñònh toïa ñoä u = 2 AB + 3 AC
b/ Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Xaùc ñònh toïa ñoä cuûa K sao cho I laø trong ñieåm AK.
Baøi 14: Cho A(–1;2); B(2;4); C(4; 5).
a/ Chöùng minh ba ñieåm A, B, C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc.
b/ Xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm tam giaùc ABC.
c/ Xaùc ñònh toïa ñoä cuûa ñieåm D sao cho ADCB laø hình bình haønh.
d/ Xaùc toïa ñoä cuûa ñieåm M treân Oy sao cho ba ñieåm A, M, B thaúng haøng.
e/ Xaùc toïa ñoä cuûa ñieåm N treân Ox sao cho ba ñieåm A, N, C thaúng haøng.
f/ Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm K sao cho A laø troïng taâm tam giaùc KBC.
BAØI TAÄP HÌNH HOÏC CHÖÔNG VECTÔ DAØNH CHO HOÏC SINH KHAÙ GIOÛI
Baøi 1: Cho hai vectô a, b ñeàu khaùc vectô khoâng. Chöùng minh
a/ Neáu a + b = a + b thì a, b cuøng phöông. b/ Neáu a + b = a − b thì a, b vuoâng goùc.
Baøi 2: Cho tam giaùc ABC, M laø moät ñieåm tuyø yù thoûa MA + MB = MA + MC . Chöùng minh M naèm
treân moät ñöôøng thaúng coá ñònh.
Baøi 3: Cho tam giaùc ABC. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. Chöùng minh
AM + BN + CP = 0
Baøi 4: Cho tam giaùc ABC ñeàu coù taâm O. M laø ñieåm tuyø yù beân trong cuûa tam giaùc ñöôïc chieáu vuoâng
3
goùc xuoáng ba caïnh taïi D, E, F. Chöùng minh MD + ME + MF = MO
2
Baøi 5: Cho tam giaùc ABC. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. Cho AM = m ,
BN = n . Bieåu dieãn caùc vectô AB, BC , CA theo caùc vectô m, n .

3. Baøi 6: Cho hai ñieåm A, B coá ñònh, M laø moät ñieåm tuøy yù, P laø ñieåm xaùc ñònh MP = MA + 3MB .
Chöùng minh MP ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
Baøi 7: Goïi I, J laø trung ñieåm cuûa AB, CD. M vaø N laø caùc ñieåm thoûa MA + k MC = 0 , NB + k ND = 0
( k ≠ –1). Goïi O laø trung ñieåm cuûa MN.
1 1
a/ Chöùng minh OI = ( MA + NB) vaø OJ = ( MC + ND) b/ Chöùng minh OI + kOJ = 0
2 2
Baøi 8: Cho tam giaùc ABC caân taïi A coù ba ñöôøng phaân giaùc gaëp nhau taïi I, bieát IA = 2 5 ,
IB = IC = 3, AI caét BC taïi H, M ñoái xöùng vôùi H qua B. Tính AH + AM ÑS: 4 11
Baøi 9: Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G, H laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua G.
2 1 1
a/ Chöùng minh AH = AC − AB vaø CH = − ( AB + AC )
3 3 3
1 5
b/ Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh MH = AC − AB
6 6
Baøi 10: Cho tam giaùc ABC. Goïi H laø ñieåm ñoái xöùng cuûa troïng taâm G qua B.
a/ Chöùng minh HA − 5 HB + HC = 0
5 1
b/ Ñaët AG = a; AH = b. Tính AB, AC theo a, b . ÑS: AC = a− b
2 2
Baøi 11: Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G, ñieåm I thoûa 5 IA − 7 IB − IC = 0
OA 1
a/ Chöùng minh GI = 2 AB b/ AI caét BG taïi O. Tính ÑS:
OI 2
Baøi 12: Cho tam giaùc ABC coù AB = 3; AC = 4. Phaân giaùc trong cuûa AD cuûa goùc BAC caét trung
DA 10
tuyeán BM taïi I. Tính ÑS:
AI 7
Baøi 13: Cho ñöôøng thaúng (d) vaø hai ñieåm A, B. Xaùc ñònh M treân (d) sao cho MA + MB nhoû nhaát
Baøi 14: Cho ñöôøng thaúng (d): y = –x + 2 vaø hai ñieåm A(–2;2) vaø B(4;0) Tìm treân (d) ñieåm M sao
cho ba ñieåm A, M, B thaúng haøng. ÑS: M(1;1)
Baøi 15: Cho tam giaùc ABC coù A(–2;3), B(4;–2) ñænh C thuoäc Oy, G laø troïng taâm tam giaùc ABC
naèm treân Ox.
a/ Tìm toïa ñoä ñieåm G vaø ñieåm C.
b/ Tìm toïa ñoä I sao cho C laø troïng taâm tam giaùc AIB.
.